Opérateur de puissance... en mode récursif

Histoire : Les Origines du Calcul de Puissance

Au 9ᵉ siècle, le mathématicien perse Al-Khwārizmī (dont le nom a donné le mot "algorithme") travaillait sur des méthodes pour calculer rapidement des multiplications répétées. Il cherchait une façon élégante de calculer 2⁸ sans faire 8 multiplications à la suite.

Son intuition ? Décomposer le problème :

• Si je sais calculer 2⁷, alors 2⁸ = 2 × 2⁷
• Si je sais calculer 2⁶, alors 2⁷ = 2 × 2⁶
• ...et ainsi de suite jusqu'à 2¹ = 2

Cette idée simple est à la base de la récursivité en programmation !

Les Mathématiques Derrière

Définition mathématique de la puissance

Pour tout nombre réel x et tout entier naturel n :

x⁰ = 1                    (cas de base)
xⁿ = x × xⁿ⁻¹             (cas récursif)

Exemples

• 3⁴ = 3 × 3³ = 3 × (3 × 3²) = 3 × (3 × (3 × 3¹)) = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
• 5⁰ = 1 (par convention mathématique)
• 2⁵ = 2 × 2⁴ = 2 × 16 = 32

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Exercice : Implémenter la Fonction Puissance

Objectif

Créer une fonction récursive Puissance en C# qui calcule xⁿ.

Signature de la fonction

public static double Power(double baseNumber, int exponent)
{
    // À compléter
}

Contrainte :

• La fonction DOIT être récursive (elle s'appelle elle-même)
• Ne pas utiliser de boucles (for, while, etc.)
• Ne pas utiliser Math.Pow()

Exemples de tests

Console.WriteLine(Power(2, 3));    // Attendu : 8
Console.WriteLine(Power(5, 0));    // Attendu : 1
Console.WriteLine(Power(3, 4));    // Attendu : 81
Console.WriteLine(Power(10, 2));   // Attendu : 100
Console.WriteLine(Power(2, 10));   // Attendu : 1024

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Indices (à lire progressivement)

Indice 1 : Structure générale

Toute fonction récursive a deux parties :

1. Le cas de base : quand arrêter la récursion ?
2. Le cas récursif : comment décomposer le problème ?

Indice 2 : Le cas de base

Quelle est la seule puissance qu'on connaît directement sans calcul ? Indice : x⁰ = ?

Indice 3 : Le cas récursif

Si n > 0, comment exprimer xⁿ en fonction de xⁿ⁻¹ ? Rappel : xⁿ = x × xⁿ⁻¹

Questions de Réflexion

1. Combien d'appels récursifs sont nécessaires pour calculer 2⁵ ?
2. Que se passe-t-il si on oublie le cas de base ? (essayer)
3. Pourquoi x⁰ = 1 pour tout x (sauf 0) ?
4. Comment pourrait-on optimiser cette fonction pour les grands exposants ?

Pour Aller Plus Loin (Bonus)

Une fois votre fonction terminée :

• Comparer les performances avec Math.Pow()
• Réfléchir : peut-on calculer les puissances négatives ? (ex: 2⁻³ = 1/8)